ここが違う 数学が苦手な人、得意な人の「考え方」
日経おとなのOFF
「数学が得意な人と苦手な人との大きな違いは、才能ではなく、問題を俯瞰（ふかん）して捉えられるか否かです」。こう話すのは、永野数学塾の塾長・永野裕之さん。
なぜなら、どんなに難解に見える数学の応用問題も、基本問題の組み合わせから成り立っているからだ。つまり難解な問題も、俯瞰して見れば、いくつかの容易な基本問題に分解できるのだ。複雑に絡み合った基本問題を解きほぐすには、問題へのアプローチ法（考え方）を知っておくことが有効な手段となる。「数学が得意な人ほど、問題を解きほぐし『そもそも』の部分に立ち返るのがうまい」と永野さんは指摘する。
ここでは日常生活にも役立つ6つの問題に対するアプローチを紹介する。このアプローチを覚えておけば、未知の問題を前にひるむことがなくなるはずだ。その上で問題を俯瞰して考えることが、難解な問題を解く第一歩となる。
・数学が苦手な人→問題の壁の前で立ち止まっている
◆日常生活にも役立つ6つのアプローチ
1.因果関係を押さえる（必要・十分を考える）
論理的思考のためには明快な因果関係が必要なように、数学の問題を解く上でも、因果関係を明らかにしていくことは重要だ。
そこで実践したいのが、常に必要条件と十分条件を意識すること。下の図のようにAならばB（A→B）であるといえても、BならばAとはいえない関係のことをAはBであるための十分条件、BはAであるための必要条件と呼ぶ。一方、A→Bと、B→Aの両方が成り立つときには、AとBは互いに必要十分条件であり、AとBは同じことをいっている（同値である）と分かる。「このような因果関係を正確に押さえられれば、関係性が明解になるだけでなく、数式の同値変形にも応用することができます」（永野さん）。
2.視覚化する
言葉を連ねるだけではイメージが伝わらないときに、図や絵を描いて説明することで伝わりやすくなることがある。「同様に、数学の問題を解くときにも、言葉や数式だけの情報よりも、視覚化すると情報量が圧倒的に増え、問題の全体像が見通しやすくなります」。上の問題を見れば、言葉だけでは少々難解な関係性が、図によって明快になったのが分かるだろう。
図だけでなく、グラフで表す方法も有効だ。例えば為替。数字だけで日々の推移を示されるよりも、グラフで視覚化すれば、変化の過程が浮き彫りにされ、多くの情報が読み取れるようになる。「数式や数列だけでは分かりづらいときは、試しにグラフ化してみる、という手を覚えておきましょう」。
3.帰納的に考える
数学の最終目的は、一般化（あらゆる場面に通じるように立式すること）にある。右図のように個々（部分）に当てはまる事柄から一般的な事柄を推論する方法を、帰納法という。帰納的なアプローチの一つが、数式に数字を当てはめることだ。例えば、「X人でYgの肉を食べた」と聞いてもイメージしづらいが、「4人で1200gの肉を食べた」と聞けば途端にイメージしやすくなるだろう。「一足飛びに一般化するのは難しい。難解な問題に対しては、まずは具体的な数字を当てはめる手が有効なことがある。そこに何らかの関係性があれば、『ここには法則があるのでは…』と思い立ち、一般的な法則や定理についてのヒントを得られることがあります」。
4.逆を考える
正攻法で問題に取り組んでみても、どうしても答えが見つからなかった経験はないだろうか。そんなときには、別の視点から考えてみると、意外にすんなり解けることがある。「とはいえ、別の視点を効果的に生かすのも簡単ではありません。そこで"別の視点"のなかでも、最も基本的なものとして試したいのが、逆の視点です」。
例えば右の問題。グレーの部分の面積を直接求めることは不可能だが、全体から白い部分の面積を引くという逆転の発想を取り入れたら、容易に解が導き出せる。「手に負えないと感じたまま考え続けても、答えは出ません。時には反対から物事を考え、解答への近道を探す練習は、日常の問題解決にも役立ちます」。
5.対称性を見つける
対称とは、あるものとあるものとが対応して、釣り合いが取れている状態のことをいう。「なんとなく捉えづらい数学の問題が、対称性を発見することで、一挙に答えを導き出せるようになることは少なくありません」。
右の問題では、最初の段階では見えていないBの対称点B′が補助線を引くことで見つかった。そのことによってlの線の下側にまで視野が広がり、スムーズに問題が解決できるようになった。「これは、問題で見えているものを『ある全体の一部にすぎない』と捉えることで、情報量が増えたからです。このように、対称性を探し、隠れていた全体をあぶり出して答えを導き出す方法は、難解な問題に対しても非常に有用です」。
6.ゴールからスタートする
数学が苦手な人の多くがつまずく証明の問題。どのような切り口で始めたらよいか皆目見当がつかない場合、「ゴールの1行前」を考えるアプローチが効果的だ。
「◯＞◯のときに、△＞△であることを証明しなさい」というように、証明問題は常に結論が最初に提示されている。ゴールが既に分かっているのだから、そのゴールから1行ずつ遡り、スタートをたどっていく、という具合だ。
「ちょうど、迷路を逆からたどるイメージですね。結論の△＞△を証明するためには、この式の1行前に何がいえるとよいか。さらにその前の1行ではこんなことがいえているはずだ……と、1行前を順に考えていくと、おのずとスタートにたどり着きます」。
永野裕之さん
永野数学塾塾長。1974年、東京都生まれ。東京大学理学部地球惑星物理学科卒業。同大学大学院宇宙科学研究所中退。おとなにも開放された数学塾を主宰。著書に『大人ための数学勉強法』（本記事の参考文献）、『大人のための中学数学勉強法』（ともにダイヤモンド社）がある。
（ライター 宇治有美子）
[日経おとなのOFF2013年6月号の記事を基に再構成]
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